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什麽是正交矩陣，和實對稱矩陣有什麽不同？

正交矩陣的定義：如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。

正交矩陣和實對稱矩陣的區別：

1、實對稱矩陣的定義是：如果有n階矩陣A，其各個元素都為實數，矩陣A的轉置等於其本身，則稱A為實對稱矩陣。

2、正交變換e在規範正交基下的矩陣是正交矩陣，滿足U*U’=U’*U=I

對稱變換e在規範正交基下的矩陣是對稱矩陣，滿足A’=A

3、轉換矩陣是正交矩陣不代表被轉換矩陣一定是實對稱矩陣反過來實對稱矩陣的相似對角化也不一定非要正交矩陣。

擴展資料：

正交矩陣的性質：

1、方陣A正交的充要條件是A的行(列)向量組是單位正交向量組。

2、方陣A正交的充要條件是A的n個行(列)向量是n維向量空間的一組標準正交基。

3、A是正交矩陣的充要條件是:A的行向量組兩兩正交且都是單位向量。

4、A的列向量組也是正交單位向量組。

實對稱矩陣的性質：

1.實對稱矩陣特征值為實數。

2..實對稱矩陣一定有N個線性無關的特征向量。

3..實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量相互正交。

參考資料來源：

百度百科-正交矩陣

參考資料來源：

百度百科-實對稱矩陣

什麽是正交變換矩陣？

如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。

正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。盡管我們在這裏隻考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。

正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種複正交矩陣，這種複正交矩陣不是酉矩陣。

正交矩陣的性質

1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。

2、正交矩陣不一定對稱。

3、正交矩陣的特征值為正負1或者cos(t)+isin(t),換句話說特征值的模長為1。

4、正交矩陣的行列式肯定是正負1,正1是叫第一類,負1時叫第二類。

5、對稱的正交矩陣不一定是對角的,隻是滿足A'=A=A^{-1},例如副對角線全為1,其餘元素都為零的那個方陣就是這種類型。

6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣,但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。

7、正交矩陣的每一個行(列)向量都是模為1的,並且任意兩個行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量組成R^n的一組標準正交基。

8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1,如果有一個元素為1,那麽這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。

9、一個對稱矩陣,如果它的特征值都為1或者-1,那麽這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。

10、如果b是一個n維單位實列向量,則E_n-2bb'是一個對稱正交矩陣.因為E_n-2bb'的特征值為1(n-1重),-1(1重),同時還是一個對陣矩陣。

正交矩陣的證明題1.如果A為n階正交矩陣，則其逆矩陣和伴隨矩陣也

A正交即AA'=E

1.A^(-1)((A^(-1))'=A^(-1)((A')^(-1))=(A'A)^(-1)=E^(-1)=E

所以)A^(-1)正交

A正交，所以A可逆，且|A|=1，或-1所以

A^* =|A|A^(-1)

所以（A^* ）（A^* ）’={|A|A^(-1)}{|A|A^(-1)}'=|A|^2 A^(-1)(A^(-1))'=E

所以正交

2.A正交即AA'=E，B正交即BB'=E

所以（AB）（AB）'=ABB'A’=AEA’=AA’=E

所以正交

3，||Aa||=（Aa，Aa）=（Aa）'Aa=a'A'Aa=a'a=||a||

因為A正交

若A是正交矩陣，則A^T也是正交矩陣.為什麽？

根據正交矩陣的定義:AAT=E，而AT(AT)T=ATA=E，所以AT也是

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